Peter Gröbner:
Mathematik zwischen Kreativität und Formalismus
Zu allen Zeiten gab es Menschen, die der Mathematik
einen großen künstlerischen, ja sogar
mythischen Anspruch zuwiesen. Der Bogen spannt
sich von der philosophisch-religiös motivierten
Schule der Pythagoräer mit der Hinrichtung
aus arithmetischen Gründen über die
stark mathematisch orientierte Kultur der Maya
bis zur abendländischen Kultur der Neuzeit.
Die Worte von Laplace: "Besaßen
Newton und Lagrange in höchstem Maße
jene glückliche Kunst, die allgemeinen Prinzipien
zu entdecken, welche das eigentliche Wesen der
Wissenschaft ausmachen. Diese Kunst, verbunden
mit einer seltenen Eleganz in der Entwicklung
der abstrakten Theorien, ist für Lagrange
charakteristisch ...", können als
Beispiel ebenso dienen wie die Zeilen von M. Dierkesmann
über F. Hausdorff: "Er trug strenge
Wissenschaft mit künstlerischer Art vor.
Er verband die unbedingte Klarheit mathematischer
Denkweise mit künstlerischer Leichtigkeit
..."
Hardy formuliert das Problem in völliger
Klarheit: "The mathematician´s patterns,
like the painter´s or the poet´s must
be beautiful; the ideas, like the colours or the
words, must fit together in a harmonious way.
Beauty is the first test: there is no permanent
place in the world for ugly mathematics. ... It
would be difficult now to find an educated man
quite insensitive to the aesthetic appeal of mathematics.
It may be very hard to define mathematical beauty,
but that is just as true of beauty of any kind
we may not know quite what we mean by a beautiful
poem, but that does not prevent us from recognizing
one when we read it."
Gerade am Anfang unseres Jahrhunderts gab es allerdings
immer mehr Ansätze zu einer streng formalen
Betrachtung der Mathematik, wie die Versuche zur
Axiomatisierung beweisen (Gödel, Zermelo).
Es scheint in der letzten Zeit geradezu Mode geworden
zu sein, mathematische Erkenntnisse auf heuristisch-kreativem
Weg zu gewinnen (wie sonst?) und bei der Publikation
unter einem solchen Formalismus zu verbergen,
dass man als uneingeweihter Leser weder den Weg
zu ihnen noch ihren Sinn erkennen kann (vgl. das
Vorwort zu Cigler). Genauso wie bei der wissenschaftlichen
Erkenntnis auf die kreative Idee die formale Absicherung
folgt, scheint nach einem kreativen Schub im 18.
Jahrhundert (Euler) jetzt die formal-axiomatische
Phase (Bourbaki) angebrochen zu sein.
Mathematikunterricht zwischen Kreativität
und Formalismus
Bereits der russische Mathematiker S. N. Bernstein
schreibt: "Ich will nicht darüber
streiten, dass jedes beliebige Gebiet der Mathematik
als glänzendes Beispiel genauen logischen
Denkens dienen kann, jedoch habe ich nicht bemerkt
(und die Erfahrung meiner Kollegen sind sicherlich
nicht glücklicher), dass das Studium der
Mathematik, wenn es nur im Wiederholen fremder
logischer Gedankengänge besteht, die Fähigkeit
zum selbstständigen folgerichtigen Denken
entwickelte. Wir sehen, dass die Beweise von Lehrsätzen
und Formeln ebenso auswendig gelernt werden wie
etwa die grammatischen Regeln und Gedichte in
fremder Sprache. So wie das eine wird auch das
andere bald wieder vergessen, und im besten Fall
bleibt im Gedächtnis des Schülers nicht
mehr als 1/10 der theoretischen Schulweisheit,
mit der man ihm jahrelang den Kopf vollpackt.
Ohne an die Frage zu rühren, wie die anderen
Zweige der Wissenschaften zu unterrichten seien,
meine ich, dass Grund- und Mittelschulen bestrebt
sein müssen, dem Schüler hauptsächlich
nur die Kenntnisse (und Fertigkeiten) zu vermitteln,
die nicht vergessen werden können, und die
sich so organisch seinem Bewusstsein einfügen,
dass er sich instinktiv ihrer bedienen, ohne Anstrengung
des Willens und ohne Zweifel, so wie er auch geht,
spricht und liest."
Was wird in unserem Land zu unserer Zeit von den
Schülern verlangt? Der Lehrplan für
die AHS-Oberstufe fordert unter anderem, "die
Schüler sollen
- mit mathematischen Methoden ... vertraut
werden
- ihr mathematisches Wissen und Können
... anwenden können
- ein Bild der Mathematik gewinnen."
Punkt 1) spricht die Erwerbung von innermathematischen
Fähigkeiten (Beherrschen von Algorithmen)
an, wie es dem traditionellen Mathematikunterricht
vergangener Jahrzehnte entspricht.
Punkt 2) betrifft die Anwendbarkeit mathematischen
Wissens, seit Jahrzehnten von Schülern, Lehrern
und der Öffentlichkeit gefordert, aber gerade
von den Schülern in der konkreten Situation
oft abgelehnt ("Bitte keine Textbeispiele!").
Möglicherweise sollten die Anwendungen auch
eher in den anderen Fächern vorgenommen werden,
was für eine verstärkte Zusammenarbeit
der Klassenlehrer, eventuell mit Team-teaching,
sprechen würde.
Punkt 3) schließlich zielt auf das
Verständnis mathematischer Methoden und ein
Wissen darüber, was Mathematiker eigentlich
tun.
Soweit die Forderungen des Lehrplans. Die Realität
der Schulbücher und damit in vielen Fällen
auch des Unterrichts sieht oft anders aus. Die
französische Kritikerin des Mathematikunterrichts
Baruk kritisiert die starke Betonung der Ausnahmen
von den Regeln, von Begriffen wie Nullmenge, Nullfunktion
und Nullvektor im Mathematikunterricht. Für
eine wissenschaftliche Korrektheit ist zwar die
Erwähnung dieser Ausnahmefälle unabdingbar,
vor allem den weniger mathematisch begabten Schüler
verwirrt sie aber nur. Baruk unterstellt den Schulbüchern:
"Bei Definitionen hört der Spaß
auf. Es geht darum, das mathematische Wissen abzudecken,
und nicht darum, von den Schülern verstanden
zu werden. (...) Das Messer ohne Klinge, bei dem
der Griff abgebrochen ist, in den Mathematikbüchern
können Sie es finden." Ein Beispiel
aus Österreich: "Das skalare Produkt
zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren ...
ist genau dann gleich 0, wenn diese Vektoren aufeinander
normal stehen." Das für das Verständnis
entscheidende Wort "normal" kommt erst
an vorletzter Stelle im Satz, die Aufmerksamkeit
des Schülers fesselt am Anfang der Nullvektor.
Das entscheidende ist aber die Normalität
(im mathematischen wie im üblichen Sinn),
nicht die triviale Ausnahme. In einem anderen
Lehrbuch für dieselbe Schulstufe wird hingegen
der Nullvektor erst nach der Definition in einer
Bemerkung erwähnt, außerdem wird eingeräumt,
"solche ´Orthogonalvektoren´
wollen wir in Hinkunft jedoch im allgemeinen unberücksichtigt
lassen." Wohl zurecht.
Baruk schreibt über die Nullfunktion: "Sie
ist zwar eine Null, und was man an ihr lernen
kann, ist auch Null". In österreichischen
Schulbüchern nimmt die Nullfunktion zwar
keine derart prominente Stelle ein. Dafür
wird aber über das Verbot, durch Null zu
dividieren (Bestimmung der Definitionsmenge) sicher
mehr gesprochen als durch jede andere Zahl dividiert
wird. Man bestimmt die Definitionsmenge als sinnvolle
Teilmenge der Grundmenge. Was ist dann aber die
Grundmenge? Eine beliebige (sinnlose?) Obermenge
der Definitionsmenge. Ihre Bedeutung liegt nur
im Unterricht, als Angabe für ein Beispiel,
mathematisch ist sie bedeutungslos.
Diese Überlegungen sind nun aber nur dann
von Bedeutung, wenn man die Mathematik weiterhin
als integralen Bestandteil der abendländischen
Kultur ansieht, der jedem Schüler einer AHS
nahegebracht werden soll, so wie sie im Mittelalter
die größere – wenn auch nicht
immer bedeutendere – Gruppe der freien Künste,
das Quadrivium bildete, allerdings unter Einschluss
der (theoretischen) Musik, was gerade in Hinblick
auf unsere Schulformen (musikalischer Zweig) von
Interesse sein dürfte. Heute wird die Bedeutung
der Mathematik für die Geistesbildung oft
wegen der Übernahme vieler mathematischer
Aufgaben durch die elektronische Datenverarbeitung
in Frage gestellt. Es scheint aber dennoch nicht
so zu sein, dass die Mathematik nur mehr von einer
kleinen Gruppe Eingeweihter betrieben werden wird,
die die Programme "warten", die von
der großen Masse der Anwender als "Black
Box" verwendet werden. Denn dadurch würden
eben jene Aspekte der Mathematik, die jederzeit
mühelos maschinell erledigt werden können,
ihren Reiz verlieren. Die weltweite Vernetzung
("global village", "Daten-Highway")
ermöglicht den jederzeitigen Zugriff auf
eine Unmenge lexikalischen Wissens, der jedoch
ohne Grundkenntnisse, Blick für das Wesentliche
und die Fähigkeit zum Erkennen von Zusammenhängen
schwierig und uninteressant werden dürfte.
Vielleicht besteht gerade darin die zukünftige
Aufgabe einer allgemeinbildenden höheren
Schule, jene Voraussetzungen zu schaffen, die
zur effektiven und kritischen Nutzung dieser Datenmengen
notwendig sind.
Beurteilung im Mathematikunterricht zwischen Kreativität
und Formalismus
Die Beurteilung des Wissens eines Schülers
im Mathematikunterricht, wie einfach und objektiv
sie oft scheint, birgt doch mehrere Fallen in
sich:
Baruk bringt wieder Beispiele, bei denen ein Schüler
eine Methode, die in einem Fall anwendbar ist,
in einem anderen nicht, unterschiedslos in beiden
Fällen anwendet, wodurch er einmal ein richtiges
und einmal ein falsches Ergebnis erhält.
Bei der Anwendung eines Punktesystems bekommt
er nun die Hälfte der Punkte, obwohl er offensichtlich
nicht weiß, unter welchen Umständen
er die Methode, die er beherrscht, verwenden kann.
Es handelt sich dabei um ein vorhandenes, aber
nicht anwendbares (Halb-)Wissen, das in der Schule
trotzdem belohnt wird, eben mit der halben Punktezahl.
"Eine Instanz, die jeder Logik spottet,
ruft den Lehrer auf, Punkte zu verteilen ... Dieses
Gewebe von Widersprüchen bringt seinem Urheber
eine mittlere Note ein. Ich vermute, das soll
heißen, dass er im Mittel weiß, ...
dass er es im Mittel auch nicht weiß, dass
er seine Aufgaben mittelmäßig gut und
somit mittelmäßig schlecht löst
und vermittels einiger Mitteilungen dieser Art
bald nichts anderes mehr wünschen wird, als
im Mittel zu liegen, ... ohne noch die Mittel
eines Blicks zu würdigen, mit deren Hilfe
er dort angekommen sein wird."
H. Bürger und Tönies schreiben im Kommentar
zum Mathematiklehrplan, "ein einziger
Rechenfehler bei einer Aufgabe kann Schüler
daran hindern, das Wissen zu dieser Aufgabe überhaupt
zu zeigen, und kann die Schüler in eine Angstsituation
versetzen." Im krassen Gegensatz dazu
bemerkt E. Lederbauer in einem Artikel in einer
Lehrerzeitschrift kritisch, dass an der AHS vorwiegend
das Verständnis beurteilt wird und Angabe-
und Rechenfehlern geringerer Wert beigemessen
wird, während an BHS in Hinblick auf die
spätere berufliche Anwendung der numerischen
Korrektheit größere Bedeutung zukommt.
Ich glaube allerdings, dass in der Arbeitswelt
nahezu jede praktische Anwendung der Mathematik
vor ihrer konkreten Realisierung von mindestens
einer anderen Person überprüft wird,
was die Auswirkungen solcher Fehler beschränkt.
Als Ausweg in diesem Dilemma bietet sich an, Aufgaben
zu stellen, die sich nicht (nur) im Lösen
von Beispielen erschöpfen: z. B. Finde eine
Angabe zu folgender Rechnung ... Erfinde ein Beispiel,
bei dem eine bestimmte Methode anwendbar ist (evtl.
mit Lösen des Beispiels). Erläutere,
warum man ein Beispiel so und nicht anders löst.
Variiere die Angabe so, sodass eine Technik nicht
mehr/ eine andere schon anwendbar ist.
Bei der Beurteilung solcher Aufgaben finde ich
ein Punktesystem noch weniger angebracht, wie
ich überhaupt meine, dass es nur einen scheinbaren
Vorteil darstellt. Es ist nur insofern objektiv,
als jeder Lehrer dadurch zur selben Beurteilung
kommen müsste. Das ist aber kein Kriterium
für Gerechtigkeit, auch eine Reihung etwa
nach dem Familiennamen führt immer zum gleichen
Ergebnis. Als Grundlage für die Beurteilung
reicht, glaube ich, die Leistungsbeurteilungsverordnung
durchaus aus. Es ist kein Problem festzustellen,
ob ein Schüler die wesentlichen Anforderungen
überwiegend oder zur Gänze erfüllt
hat oder ob er mehr oder weniger weit darüber
hinaus gehende Leistungen erbracht hat. Diese
Einstufung seiner Leistungen ist dem Schüler
auch leichter verständlich zu machen als
eine Zuordnung zu 24 oder 32 oder gar 80 verschiedenen
Punktezahlen. Die Anwendung eines Punktesystems
halte ich für das Ergebnis einer materialistischen
Haltung, die meint, alles, auch zutiefst menschliche
Eigenschaften, wie die Intelligenz bzw. ihre Leistungen
und auch die Kreativität, durch Zahlen erfassen
zu können und zu müssen.
Peter Gröbner ist Lehrer an der HIB.
Mit freundlicher Genehmigung des Autors, 1995
Aus: Schulheft 78 (1995): Neues Lernen - Neue Gesellschaft
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