Fourier-Synthese und -Analyse

Eine periodische Funktion kann aus Sinussen und Cosinussen zusammengesetzt werden (Synthese). Wir rechnen hier mit N diskreten Werten einer reellen Funktion f.

Die Analyse bestimmt aus den reellen Funktionswerten f[] die reellen Koeffizienten a[] und b[] der Cosinus- bzw. Sinus-Oberwellen, die Synthese stellt den inversen Vorgang dar. Den Faktor 1/N setze ich hier in der Analyse, damit die Synthese einfacher nachzuvollziehen ist.

a[n] = 1/N Summe(k=0,N-1){ f[k].cos(2pi.kn/N) }

b[n] = 1/N Summe(k=0,N-1){ f[k].sin(2pi.kn/N) }

f[n] = a[0] + Summe(k=1,N-1){ a[k]cos(2pi.kn/N) + b[k]sin(2pi.kn/N) }

Python-Programm: Fourier-Series.py

Fourier-Transformation

Allgemeiner kann man eine beliebige komplexe Zeit-Funktion f, bzw. deren Werte <x> in den Raum der Frequenzanteile mit den Werten <X> abbilden.

Die obige Synthese entspricht dann der inversen Transformation.

Das Python-Programm Fourier-Transform.py enthält die Standardversion der disktreten Fouriertransformation dft bzw. idft, sowie die schnellen Versionen fft und ifft unter Verwendung des Butterfly-Algorithmus. Der Faktor 1/N wird hier wie in der Mathematik üblich bei der inversen Transformation eingesetzt.