Zentralkräfte (central forces)

Das Newton'sche Gravitationsgesetz erklärt die Planetenbewegung und die Form der Bahnen als Folge einer Kraft, die zwischen Planet und Sonne wirkt. Ihre Stärke ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands Planet-Sonne. Was wäre aber, wenn dieses Gesetz ein wenig anders aussehen würde?

Besonders interessant ist die Frage nach den Auswirkungen, wenn die Hochzahl des Abstandes im Nenner des Bruchs nicht exakt 2, sondern etwas mehr oder weniger wäre.

Experimente dieser Art können wir mithilfe des Computers anstellen. Unser Programm centralforce.pyw, eine Erweiterung des Programms zum Studium des Wurfes mit Luftreibung, arbeitet mit einem Runge-Kutta-Verfahren fünfter Ordnung. Die Punkte werden also in konstanten Zeitabständen gesetzt. Beim Zusehen hat man dadurch automatisch ein Gefühl für die Geschwindigkeit des Massenpunktes. Die Lösung der Bewegungsgleichung ist für 'normale Eingaben' (im Bereich um 1) ausreichend genau. Bei zu geringem Sonnenabstand bricht die Berechnung automatisch ab.

Die Sonne steht im Ursprung des Koordinatensystems. Das Kraftgesetz wurde zu f(r) = r^-n gewählt, womit im Abstand r=1 immer eine stabile Kreisbahn möglich ist, sofern die Geschwindigkeit v=(0/1) beträgt. Du kannst aber alle möglichen Wertänderungen durchführen. Falls das Bild zu klein ist, oder der Massenpunkt (er startet immer beim kleinen blauen Kreis) das Bild verlässt, kannst Du nach außen (oder innen) zoomen.

Die Vorgabeeinstellung ist

Wir experimentieren: bei veränderter Startgeschwindigkeit (wir geben für vy andere Werte vor) ergibt sich

Es ergeben sich die bekannten Ellipsen, die Sonne steht in einem Brennpunkt.

Physik: Die Änderung der Geschwindigkeit vy gegenüber der Vorgabeeinstellung (0/1) entspricht einem 'Stoß', der auf die bewegte Masse ausgeübt wird. Im linken Bild ist dies ein Stoß nach unten (eine Bremsung), die Ellipsenbahn ändert sich senkrecht dazu. Analog rechts: wir schubsen die Masse nach oben, die Bahn weicht nach rects aus. Warum?

Weitere Experimente:

	Hochzahl 1.9 Kreisbahn
	Wiederum 1.9 verringerte Geschwindigkeit Die Ellipse beginnt sich zu drehen
	analog bei erhöhter Geschwindigkeit
	Hochzahl 2.6 Die Bahn wird interessant
	obige Werte etwas nach innen gezoomt

	Kraftgesetz 1/r
	n=0, eine konstante Kraft nach innen
	Kraft proportional zur Entfernung - das Hooke'sche Gesetz
	Kraft -r⁶
	Kraft -r²⁰
	Kraft -r²⁰ DIe Kraft wächst außerhalb von r=1 so rasch, dass die Masse nahezu reflektiert wird. Innen ist die Kraft so klein, dass die Bewegung fast gleichförmig verläuft.

Randbemerkung:

Auch das Hooke'sche Kraftgesetz liefert elliptische Planetenbahnen. Im Unterschied zu Newton steht die Sonne aber im Mittelpunkt der Ellipse.
Zu Ehren Isaac Newton's gaben die englischen Banken (Ende des 20. Jahrhunderts) eine Pfundnote heraus, auf deren Rückseite die Konstruktion der Planetenbahnen zu sehen war. Allerdings hatten die Grafiker die Sonne in den Mittelpunkt der Ellipsen gezeichnet und damit die Hooke'sche Theorie abgebildet. Die Noten blieben nicht lange im Umlauf.

Erweiterung

Kann man eigentlich aus den Anfangswerten sofort wissen, ob die Masse der Sonne entflieht oder sich eine stabile Bahn ergeben kann? Und wenn ja - zwischen welchen Sonnenabständen (Perihel, Aphel) die Masse pendelt? Ist das für alle Hochzahlen möglich?

Die Antwort finden Physiker mithilfe des 'effektiven Potentials': dies ist die gewöhnliche potentielle Energie, allerdings vermehrt um einen Beitrag durch den Drehimpuls. Ein Vergleich der Startenergie der Masse mit dieser Potentialfunktion gibt dann die gewünschte Auskunft.

Aufgabe: erstelle ein Programm zur grafischen Darstellung des effektiven Potential für gegebene Anfangswerte (Radius von Null bis 2 genügt für obige Bahnen).