Die Kreise des Apollonius

Eine Aufgabe der klassischen griechischen Geometrie lautete: Finde zu drei gegebenen (nicht überlappenden) Kreisen einen vierten, der die drei gegebenen berührt.

Wir untersuchen eine eingeschränkte Aufgabe: vorgegeben sind drei einander berührende Kreise. Wir suchen den Kreis, der diese drei von innen berührt.
Beginne mit drei gleich großen Kreisen. Die Lösung ist einfach (die roten Bögen sind die drei gegebenen Kreise:

Nun können wir aber in die verbleibenden Lücken wiederum Apollonische Kreise einfügen:

Und wir können dieses Spielchen immer weiter treiben:

Die Formeln kann man einfach ausrechnen. Wir verwenden ein Python-Programm, das diese Kreise rekursiv berechnet: apollonius.py

Für besonders schöne Bildschirmdarstellungen bemühen wir den POV-Ray Raytracer. Unser Programm speichert die berechneten Kreise als Kugeln eines Objektes ab.

Beispielsweise Apollo.inc fur die POV-Ray-Datei Apollonius.pov
Das Ergebnis mit aufgeschnittenen Hälften:

Oder mit weißem Pigment und bunten Lichtquellen